Gödelscher Unvollständigkeitssatz

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Dr Unvollständikäitssatz vom Gödel isch äine vo de wichtigste Setz in dr modärne Logik. Er beschäftigt sich mit dr Abläitbarkäit vo Ussaage in formale Süsteem. Dr Satz zäigt, ass ab ere bestimmten Läistigsfähigkäit formali Süsteem Gränze häi. Er bewiist, ass es in Süsteem, wo stark gnueg si, wie dr Arithmetik, Ussaage muess gee, wo mä weder formal cha bewiise no widerlege. Dr Satz bewiist d Ummöglikäit vom Hilbertprogramm, wo vom David Hilbert begründet worde isch, zum bewiise, ass d Mathematik frei vo Widersprüch sig. Dr Satz isch 1931 vom ööstriichische Mathematiker Kurt Gödel veröffentligt worde.[1]

Wemm mä s gnauer nimmt git s äigentlig zwäi Unvollständigkäitssetz. Dr Ersti Unvollständigkäitssatz sait, ass es in widerspruchsfreie Süsteem, wo gnueg stark si, immer Ussaage git, wo mä nid cha bewiise. Dr Zwäiti Unvollständigkäitssatz säit, ass widerspruchsfreiji Süsteem, wo gnueg stark si, iiri äigeni Widerspruchsfreihäit nit chönne bewiise.

Die Setz setze dr Mathematik e prinzipielli Gränze: Nit jede mathematischi Satz cha us de Axiom vom ene mathematische Däilgebiet (zum Bischbil Arithmetik, Geometrii und Algebra) formal abgläitet oder widerlegt wärde.

In dr Wüsseschaftstheorii und in andere Gebiet vo dr Filosofii zelt dr Satz zu de Setz in dr Mathematik, wo am mäiste rezipiert wird. S Buech Gödel, Escher, Bach und d Wärk vom John Randolph Lucas wärde hüfig exemplarisch uuseghobe.

Litratuur[ändere | Quälltäxt bearbeite]

Originalpublikazione[ändere | Quälltäxt bearbeite]

  • Kurt Gödel: Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. In: Monatshefte für Mathematik und Physik, 38, 1931, S. 173–198, doi:10.1007/BF01700692. Zentralblatt MATH.
  • Kurt Gödel: Diskussion zur Grundlegung der Mathematik: Erkenntnis 2. In: Monatshefte für Math. und Physik, 1931–32, S. 147–148.
  •  J. Barkley Rosser: Extensions of some theorems of Gödel and Church. In: Journal of Symbolic Logic. 1, 1936, S. 87–91.

Populäri Iifüerige[ändere | Quälltäxt bearbeite]

  • Douglas R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach, ein Endloses Geflochtenes Band. München 1991 ISBN 3-423-30017-5 (Eine interessante und relativ leicht verständliche Erklärung von Gödels Satz und seinen Implikationen).
  • Wolfgang Franz: Über mathematische Aussagen, die samt ihrer Negation nachweislich unbeweisbar sind. Der Unvollständigkeitssatz von Gödel. Franz Steiner Verlag, Wiesbaden, 1977, 27 S., ISBN 3-515-02612-6. (verständlicher Vortrag mit wissenschaftsgeschichtlichen Bezügen).
  • Raymond Smullyan: Dame oder Tiger – Logische Denkspiele und eine mathematische Novelle über Gödels große Entdeckung. Fischer-Verlag, Frankfurt am Main 1983. Das amerikanische Original erschien bei Alfred A. Knopf, New York 1982.
  • Raymond Smullyan: To Mock a Mockingbird. 1985.
  • Raymond Smullyan: Forever undecided: a puzzle guide to Gödel. 1987.
  • Dirk W. Hoffmann: Die Gödel'schen Unvollständigkeitssätze: Eine geführte Reise durch Kurt Gödels historischen Beweis. Springer 2013, ISBN 978-3-8274-2999-5.

Mathematischi Iifüerige[ändere | Quälltäxt bearbeite]

  •  David Hilbert, Paul Bernays: Grundlagen der Mathematik. II (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 50). Springer, Berlin 1939 (enthält eine detaillierte arithmetisierte Beweisskizze des zweiten Unvollständigkeitssatzes, ags.uni-sb.de).
  •  Peter G. Hinman: Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters, Wellesley 2005, ISBN 1-56881-262-0 (enthält einen detaillierten Beweis des zweiten Unvollständigkeitssatzes in der Mengenlehre).
  • Ernest Nagel, James R. Newman: Der Gödelsche Beweis. 8. Auflage. 2007, ISBN 978-3-486-45218-1.
  •  Wolfgang Rautenberg: Einführung in die Mathematische Logik. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0578-2 (springerlink.com).
  • Peter Smith: An Introduction to Gödel’s Theorems. Cambridge Introductions to Philosophy. 2. Auflage, Cambridge 2013, ISBN 978-1-107-60675-3.
  •  Craig Smorynski: The incompleteness theorems. In: Jon Barwise (Hrsg.): Handbook of Mathematical Logic. North Holland, 1977, ISBN 0-444-86388-5.
  • Raymond Smullyan: Gödel’s Incompleteness Theorems. Oxford Logic Guides. Oxford University Press, 1992.
  • Max Urchs: Klassische Logik: eine Einführung. Berlin 1993, ISBN 3-05-002228-0 (dort im Kapitel: Theorien erster Ordnung, S. 137–149).

Weblingg[ändere | Quälltäxt bearbeite]

Fuessnoote[ändere | Quälltäxt bearbeite]

  1. Kurt Gödel: Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. In: Monatshefte für Mathematik und Physik, 38, 1931, S. 173–198, doi:10.1007/BF01700692, Zentralblatt MATH.
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