Punkt (Geometrie)

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E Punkt isch e grundlegends Elemänt in der Geometrii. Für zum s aschaulig mache, stellt mä sich drunder en Objekt ohni jedi Usdehnig vor. Bi de Axiom in dr synthetische Geometrii existiere gliichberächtigt näbe de Pünggt au anderi Klasse vo geometrische Objekt, wie zum Bispil die Grade Linie. In dr analytische Geometrii und der Differentialgeometrii wärde drgege alli andere geometrische Objekt as Mängene vo Pünggt definiert. In der Funktionalanalysis chönne Funktione as Pünggt vom ene Funktioneruum bedrachtet wärde. In der Höchere Geometrii wärde zum Bispil Ebene vom ene dreidimensionale projektive Ruum as Pünggt vom Dualruum, wo drzueghört, ufgfasst.

Synthetischi Geometrii[ändere | Quälltäxt bearbeite]

Der griechisch Philosoph Euklid het öbbe 300 vor dr Ziitwändi dr Punggt in siine Elemänt as öbbis, wo keini Deil het definiert. Für Setz und ihri Bewiis spiilt die Definition aber kei Rolle. Modärni Axiomesystem verzichte dorum uf e sonigi Definition.

E Punggt isch in däm Fall e Begriff, wo die einzelne Axiom druf Bezug nähme. E Bispil isch s erste Axiom us em Hilbert siim Axiomesystem:

Zwei Pünggt P und Q, wo vonenander verschiidene si, bestimme immer e Gradi g.

D Bedütig vom Begriff Punggt ergit sich us der Gsamtheit vom Axiomesystem. En Interpretation as Objekt ohni Usdehnig isch nit zwingend.

In der projektiven Ebeni si d Begriff Punggt und Gradi sogar vollständig usduschbar. Eso isch s do möglig, sich e Gradi as unändlig chlii und e Punggt as unändlig lang und unändlig dünn vorzstelle.

Analytischi Geometrii[ändere | Quälltäxt bearbeite]

In der analytische Geometrii wird der geometrisch Ruum as n-dimensionale Vektorrum über eme Körper K dargstellt. Jedes Elemänt vo däm Vektorruum wird as Punggt bezeichnet. E Basis leit e Koordinatesystem fest und d Komponänte vom ene Vektor in Bezug uf die Basis wärde as d Koordinate vom Punggt bezeichnet. E Punggt het drbii d Dimension Null.

Alli andere geometrische Objekt wärde as Mängene vo Pünggt definiert. So wird öbbe e Gradi as en eidimensionale affine Underruum und en Ebeni as e zweidimensionale affine Underruum definiert. E Sphäre wird as die Mängi vo de Pünggt definiert, wo zum Mittelpunggt e bestimmte Abstand hai.

Differentialgeometrii[ändere | Quälltäxt bearbeite]

In der Differentialgeometrii wärde d Elemänt von ere Mannigfaltigkeit as Pünggt bezeichnet. Das si in däm Fall keini Vektore, em ene Punggt cha me aber mit Hilf von ere lokale Charte Koordinate ge.

Zitat[ändere | Quälltäxt bearbeite]

Vom dütsche Mathematiker Oskar Perron (1880-1975), me dütsche Mathematiker, stammt die folgendi Bemerkig [1]:

„Ein Punkt ist genau das, was der intelligente, aber harmlose, unverbildete Leser sich darunter vorstellt.“

Literatur[ändere | Quälltäxt bearbeite]

  • Manon Baukhage: Der Punkt. Zugegeben, er macht nicht viel her - so klein wie er sich gibt. Tatsächlich aber gehört er zu den großen Rätseln der Welt; in: "P.M. - Peter Moosleitners Magazin Nr. 2/2005 (München: Februar 2005); S. 58-65.

Fuessnote[ändere | Quälltäxt bearbeite]

  1. Oskar Perron: Nichteuklidische Elementargeometrie der Ebene, Stuttgart 1962
Dä Artikel basiert uff ere fräie Übersetzig vum Artikel „Punkt_(Geometrie)“ vu de dütsche Wikipedia.

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