Mengenlehre

Us der alemannische Wikipedia, der freie Dialäkt-Enzyklopedy
Hops zue: Navigation, Suech
D Mängi as gedankligi Zämmefassig vo Objekt

D Mängileer isch e Däilgebiet vo dr Mathematik, wo Mängene vo Objekt studiert. Jeedi Art vo Objekt cha zwar zun ere Mängi zämmegfasst wärde, aber d Mängileer wird am hüfigste aagwändet bi Objekt, wo für d Mathematik relewant si.

D Bedütig vo dr Mängileer[ändere | Quälltäxt bearbeite]

D Mängileer isch hützudags das grundlegende Däilgebiet vo dr Mathematik, wil mä hüte die ganzi Mathematik üübligerwiis in dr Sprooch vo dr Mängileer formuliert und sä uf de Axiom vo dr Mängileer ufbaut. Die mäiste mathematische Objekt, wo in Däilberiich wie under anderem Algebra, Analysis, Geometrii, Stochastik oder Topologii behandlet wärde, löön sich as Mängene definiere. Für dass d Mängileer e son e wichdigi Wüsseschaft isch, isch si no rächt jung. Erst wo d Grundlaagekriise vo dr Mathematik am Aafang vom 20. Joorhundert überwunde worde isch, het d Mängileer dr zentral und grundlegendi Blatz in dr Mathematik afo iinee, wo si hüte het.

Mächdikäit[ändere | Quälltäxt bearbeite]

Für ändligi Mängene isch d Mächdigkäit gliich wie d Zaal vo de Elimänt vo dr Mängi, das isch äntwääder e natürligi Zaal oder Null.

Bi unändlige Mängene definiert mä Ekwiwalänzklasse, wo die verschiidene Mängene drzueghööre und git dene Kardinalzaale . Äi Klass isch d Klass vo de abzellbare (mä säit au abzellbar unändlige) Mängene, wo alli gliich mächdig si wie d Mängi vo de natürlige Zaale . Doodrzue ghööre under anderem die ganze und die razionale Zaale.

Sümbol, wo in dr Mängileer brucht wärde[ändere | Quälltäxt bearbeite]

Für Mängene brucht mä im Allgemäine Groossbuechstaabe () und für Elimänt vo Mängene Chliibuechstaabe ().

Definizionszäiche[ändere | Quälltäxt bearbeite]

Sümbol Verwändig Interpretazion
wird dur definiert
wird per Definizion gliich gsetzt
wird per Definizion gliichwärtig zu gsetzt

Mängikonstrukzion[ändere | Quälltäxt bearbeite]

Sümbol Verwändig Interpretazion
leeri Mängi
D Mängi, wo us de Elimänt , und so witer bestoot
D Mängi vo de Elimänt , wo d Bedingig erfülle

Mängioperazione[ändere | Quälltäxt bearbeite]

Sümbol Verwändig Interpretazion
Veräinigung vo de Mänge und
Durchschnitt vo de Mänge und
Differänz vo de Mänge und
symmetrischi Differänz vo de Mänge und
kartesischs Brodukt vo de Mänge und
Veräinigung vo de disjunkte Mänge und
Disjunkti Veräinigung vo de Mänge und
Komplemänt vo dr Mängi
Potänzmängi vo dr Mängi

Mängerelazione[ändere | Quälltäxt bearbeite]

Sümbol Verwändig Interprezation
isch en ächti Däilmängi vo
isch e Däilmängi vo
isch en ächti Obermängi vo
isch en Obermängi vo
s Elimänt isch in dr Mängi enthalte
s Elimänt isch nit in dr Mängi enthalte

Hinwiis: d Sümbol und wärde nit äihäitlig verwändet und schliesse hüfig d Gliichhäit vo de bäide Mängene nit us.

Zaalemängene[ändere | Quälltäxt bearbeite]

Sümbol Verwändig Interpretazion
natürligi Zaale
ganzi Zaale
razionali Zaale
algebraischi Zaale
reelli Zaale
komplexi Zaale
Quaternione

Mächtigkäite[ändere | Quälltäxt bearbeite]

Sümbol Verwändig Interpretazion
Mächtigkäit (Kardinalität) von ere Mängi
Mächtigkäit vom Kontinuum
, , ... Kardinalzaale
, , ... Beth-Zaale

E baar Begriff aaschaulig gmacht[ändere | Quälltäxt bearbeite]

Literatur[ändere | Quälltäxt bearbeite]

  • Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. Chelsea Publ. Co., New York 1914/1949/1965, ISBN 978-3-540-42224-2.
  • Adolf Fraenkel: Einleitung in die Mengenlehre. Springer Verlag, Berlin/Heidelberg/New York 1928. Neudruck: Martin Sändig oHG, Walluf 1972, ISBN 3-500-24960-4.
  • Paul R. Halmos: Naive Mengenlehre. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1968, ISBN 3-525-40527-8.
  • Erich Kamke: Mengenlehre. 6. Auflage. Walter de Gruyter & Co., Berlin 1969.
  • Kenneth Kunen: Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. North-Holland, 1980, ISBN 0-444-85401-0.
  • Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. Mannheim/Leipzig/Wien/Zürich 1994.
  • André Joyal, Ieke Moerdijk: Algebraic Set Theory. Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-55830-1.
  • Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg/Berlin 2003, ISBN 3-8274-1411-3.

Weblingg[ändere | Quälltäxt bearbeite]

Wikibooks-logo.svg Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Mengenlehre — Lern- und Lehrmaterialie
Wikibooks-logo.svg Wikibooks: Beweisarchiv: Mengenlehre — Lern- und Lehrmaterialie