Mahler-Mààs

Dialäkt: Mìlhüüserdiitsch

Ìn dr Màthemàtik ìsch s’ Mahler-Mààs a Mààs vu dr Kompläxitäät vu da Polünooma. D’ Formel hàt dr Màthemàtiker Kurt Mahler (1903–1988) ànna 1961 gschrìewa. Urschprìnglig hàt maa-n-’s bnutzt, fìr groossa Primzààhla süacha. ’S hàt a Zammahàng mìt schpeziälla Warter vun L-Funkzioona; wagadam hàt maa mìt’m Mahler-Mààs zààhlriicha Vermüatunga ìn dr ànàlytischa Zààhlatheorii gmàcht.

Àbschtìmmung

S’ Mahler-Mààs $M(p)$ vu’ma Polünoom $p(x)\in \mathbb {C} [x]$ mìt reälla odd’r kompläxa Koeffizianta-n-ìsch

$M(p)=\lim _{\tau \rightarrow 0}\|p\|_{\tau }=\exp \left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\ln(|p(e^{i\theta })|)\,d\theta \right).$

Doo ìsch

$\|p\|_{\tau }=\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|p(e^{i\theta })|^{\tau }\,d\theta \right)^{1/\tau }\,$

d’ $L_{\tau }$-Norm vu $p$. Mìt Hìlf vu dr Jensen-Formel kààt maa zaiga, àss üss

$p(z)=a(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})\cdots (z-\alpha _{n})$

folgt:

$M(p)=|a|\prod _{i=1}^{n}\max\{1,|\alpha _{i}|\}=|a|\prod _{|\alpha _{i}|\geq 1}|\alpha _{i}|.$

S’ logàrithmischa Mahler-Mààs vu’ma Polynoom bschtìmmt maa-n-àls

$m(P)=\log M(P)$.

S’ Mahler-Mààs vun’ra algebraischa Zààhl $\alpha$ ìsch aifàch s’ Mahler-Mààs vum Minimààlpolünoom vun $\alpha$ ìwwer $\mathbb {Q}$.

Aigaschàfta

• S’ Mahler-Mààs ìsch mültiplikàtiiv, dàs haisst $\forall p,q,\,\,M(p\cdot q)=M(p)\cdot M(q).$
• Fìr zyklotoomischa Polünooma un ìhra Produkta hàt maa $M(p)=1$.
• Dr Sàtz vum Kronecker: Wänn $p$ a irredüzibel moonisch Polünoom mìt gànzzààhliga Koeffizianta un $M(p)=1$ ìsch, dänn ìsch äntwadder $p(z)=z,$ odd’r $p$ ìsch a zyklotoomisch Polünoom.
• D’ Vermüatung vum Lehmer sajt, àss’s a Konschtànta $\mu >1$ gìtt, so dàss jeeds irredüzibla Polünoom $p$ mìt gànzzààhliga Koeffizianta äntwadd’r zyklotoomisch ìsch odd’r $M(p)>\mu$ ärfìllt.
• S’ Mahler-Mààs vu’ma moonischa Polünoom mìt gànzzààhliga Koeffizianta-n-ìsch a Perron-Zààhl.

S’ Mahler-Mààs fìr Polünooma mìt mehrera Vàriààbla

S’ Mahler-Mààs $M(p)$ vu’ma Polünoom $p(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ bschtìmmt maa dur d’ Formel

$M(p)=\exp \left({\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\cdots \int _{0}^{2\pi }\ln {\Bigl (}{\bigl |}p(e^{i\theta _{1}},e^{i\theta _{2}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}){\bigr |}{\Bigr )}\,d\theta _{1}\,d\theta _{2}\cdots d\theta _{n}\right).$

Maa kààt zaiga, àss $M(p)$ konwärschiart.

Fìr ${\boldsymbol {r}}=(r_{1},\ldots ,r_{n})\in \mathbb {N} ^{n}$ hatt maa

$q({\boldsymbol {r}}):={\text{min}}\{{\text{max}}\{|s_{j}|:1\leq j\leq N\}:s=(s_{1},\dots ,s_{N})\in \mathbb {Z} ^{N},s\neq (0,\dots ,0)\ {\text{and}}\ \sum _{j=1}^{N}s_{j}r_{j}=0\}$

Dänn ìsch

$M{\bigl (}p(x_{1},\ldots ,x_{n}){\bigr )}=\lim _{{\boldsymbol {r}}\in \mathbb {N} ^{n} \atop q({\boldsymbol {r}})\to \infty }M{\bigl (}p(x^{r_{1}},x^{r_{2}},\ldots ,x^{r_{n}}){\bigr )}.$

Schpeziälla Warter vun L-Funkzioona

’S sìnn zààhlriicha Beziihunga zwìscha Mahler-Mààsa (manckmol logàrithmischa Mahler-Mààsa) vu Polünooma un schpeziälla Werta vun L-Funkzioona; ainiga drvuu sìnn numma Vermüatunga, àndra sìnn bewìesa worra.

ìm Smyth siina Formel

Ànna 1981 hàt dr Smyth d’ Formel doo druff bewìesa:

$m(1+x_{1}+x_{2})={\frac {3{\sqrt {3}}}{4\pi }}L(\chi _{-3},2)$

wu $L(\chi _{-3},s)$ d’ L-Funkzioon vum Dirichlet (àlso $L(\chi _{-3},s)={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}-{\frac {1}{5^{s}}}+-\ldots$) un

$m(1+x+y+z)={\frac {7}{2\pi ^{2}}}\zeta (3)$ ìsch;

doo ìsch $\zeta$ d’ Zeta-Funkzioon vum Riemann. Doo wìrd $m(P)=\log M(P)$ s’ logàrithmischa Mahler-Mààs gnännt.

d’ Vermüatung vum Chinburg

A Vermüatung vum Chinburg sajt, àss maa züa jeeder negàtiiva Zààhl $-f$ a Laurent-Polünoom $P_{f}\in \mathbb {Z} (x,y)$ un a ràzionààla Zààhl $r_{f}\in \mathbb {Q}$ hàt, mìt

$m(P_{f})=r_{f}d_{F}$

fìr d’ Dischkriminànta

$d_{f}={\frac {f{\sqrt {f}}}{4\pi }}L(\chi _{-f},2)$

vum Kàràkter $\chi _{-f}(n)=\left({\frac {-f}{n}}\right)$.

Lìteràtüür

• Mahler measure. In: Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag un EMS Press, 2001 (englisch, encyclopediaofmath.org [abgerufen am 23. Mai 2022]). 
• Derrick Henry Lehmer: Factorization of certain cyclotomic functions. Ann. of Math. (2) 34 (1933), no. 3, 461–479.
• David W. Boyd: Speculations concerning the range of Mahler's measure. Canad. Math. Bull. 24 (1981), 453–469.
• Klaus Schmidt: Dynamical systems of algebraic origin. Progress in Mathematics, 128. Birkhäuser Verlag, Basel, 1995. ISBN 3-7643-5174-8

Weblìnks

• Eric W. Weisstein: S’ Mahler-Mààs. In: MathWorld (änglisch).

Ainzelnoohwiisa

Dä Artikel basiert uff ere fräie Übersetzig vu dere Version vum Artikel „Mahler-Maß“ vu de dütsche Wikipedia. E Liste vu de Autore un Versione isch do z finde.

Dä Artikel basiert uff ere fräie Übersetzig vu dere Version vum Artikel „Mahler_measure“ vu de anglische Wikipedia. E Liste vu de Autore un Versione isch do z finde.