Mahler-Mààs

Us der alemannische Wikipedia, der freie Dialäkt-Enzyklopedy
Dialäkt: Mìlhüüserdiitsch

Ìn dr Màthemàtik ìsch s’ Mahler-Mààs a Mààs vu dr Kompläxitäät vu da Polünooma. D’ Formel hàt dr Màthemàtiker Kurt Mahler (1903–1988) ànna 1961 gschrìewa.[1] Urschprìnglig hàt maa-n-’s bnutzt, fìr groossa Primzààhla süacha. ’S hàt a Zammahàng mìt schpeziälla Warter vun L-Funkzioona; wagadam hàt maa mìt’m Mahler-Mààs zààhlriicha Vermüatunga ìn dr ànàlytischa Zààhlatheorii gmàcht.

Àbschtìmmung[ändere | Quälltäxt bearbeite]

S’ Mahler-Mààs vu’ma Polünoom mìt reälla odd’r kompläxa Koeffizianta-n-ìsch

Doo ìsch

d’ -Norm vu . Mìt Hìlf vu dr Jensen-Formel kààt maa zaiga, àss üss

folgt:

S’ logàrithmischa Mahler-Mààs vu’ma Polynoom bschtìmmt maa-n-àls

.

S’ Mahler-Mààs vun’ra algebraischa Zààhl ìsch aifàch s’ Mahler-Mààs vum Minimààlpolünoom vun ìwwer .

Aigaschàfta[ändere | Quälltäxt bearbeite]

  • S’ Mahler-Mààs ìsch mültiplikàtiiv, dàs haisst
  • Fìr zyklotoomischa Polünooma un ìhra Produkta hàt maa .
  • Dr Sàtz vum Kronecker: Wänn a irredüzibel moonisch Polünoom mìt gànzzààhliga Koeffizianta un ìsch, dänn ìsch äntwadder odd’r ìsch a zyklotoomisch Polünoom.
  • D’ Vermüatung vum Lehmer sajt, àss’s a Konschtànta gìtt, so dàss jeeds irredüzibla Polünoom mìt gànzzààhliga Koeffizianta äntwadd’r zyklotoomisch ìsch odd’r ärfìllt.
  • S’ Mahler-Mààs vu’ma moonischa Polünoom mìt gànzzààhliga Koeffizianta-n-ìsch a Perron-Zààhl.

S’ Mahler-Mààs fìr Polünooma mìt mehrera Vàriààbla[ändere | Quälltäxt bearbeite]

S’ Mahler-Mààs vu’ma Polünoom bschtìmmt maa dur d’ Formel

Maa kààt zaiga, àss konwärschiart.[2]

Fìr hatt maa

Dänn ìsch

Schpeziälla Warter vun L-Funkzioona[ändere | Quälltäxt bearbeite]

’S sìnn zààhlriicha Beziihunga zwìscha Mahler-Mààsa (manckmol logàrithmischa Mahler-Mààsa) vu Polünooma un schpeziälla Werta vun L-Funkzioona; ainiga drvuu sìnn numma Vermüatunga, àndra sìnn bewìesa worra.

ìm Smyth siina Formel[ändere | Quälltäxt bearbeite]

Ànna 1981 hàt dr Smyth d’ Formel doo druff bewìesa:[3]

wu d’ L-Funkzioon vum Dirichlet (àlso ) un

ìsch;

doo ìsch d’ Zeta-Funkzioon vum Riemann. Doo wìrd s’ logàrithmischa Mahler-Mààs gnännt.

d’ Vermüatung vum Chinburg[ändere | Quälltäxt bearbeite]

A Vermüatung vum Chinburg sajt, àss maa züa jeeder negàtiiva Zààhl a Laurent-Polünoom un a ràzionààla Zààhl hàt, mìt

fìr d’ Dischkriminànta

vum Kàràkter .

Lìteràtüür[ändere | Quälltäxt bearbeite]

  • Mahler measure. In: Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag un EMS Press, 2001 (englisch, encyclopediaofmath.org [abgerufen am 23. Mai 2022]).
  • Derrick Henry Lehmer: Factorization of certain cyclotomic functions. Ann. of Math. (2) 34 (1933), no. 3, 461–479.
  • David W. Boyd: Speculations concerning the range of Mahler's measure. Canad. Math. Bull. 24 (1981), 453–469.
  • Klaus Schmidt: Dynamical systems of algebraic origin. Progress in Mathematics, 128. Birkhäuser Verlag, Basel, 1995. ISBN 3-7643-5174-8

Weblìnks[ändere | Quälltäxt bearbeite]

Ainzelnoohwiisa[ändere | Quälltäxt bearbeite]

  1. Michael Neururer: Mahler’s measure and L-values. (pdf) Fàchberaich Màthemàtik vu dr TU Darmstadt, abgruefen am 23. Mai 2022 (änglisch).
  2. W. Lawton: A problem of Boyd concerning geometric means of polynomials. In: J. Number Theory 16. Nr. 3, 1983, S. 356–362 (englisch).
  3. Chris Smyth: The Mahler measure of algebraic numbers: a survey. In: James McKee, Christ Smyth (Hrsg.): Number Theory and Polynomials (= London Mathematical Society Lecture Note Series). Band 352. Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-71467-9, S. 322–349 (englisch).
Dä Artikel basiert uff ere fräie Übersetzig vu dere Version vum Artikel „Mahler-Maß“ vu de dütsche Wikipedia. E Liste vu de Autore un Versione isch do z finde.
Dä Artikel basiert uff ere fräie Übersetzig vu dere Version vum Artikel „Mahler_measure“ vu de anglische Wikipedia. E Liste vu de Autore un Versione isch do z finde.