Elementari Algebra

Die elementari Algebra isch die grundlegendi Form vo dr Algebra. Im Geegesatz zur Arithmetik git s in dr elementare Algebra usser Zaale und de Grundrächenarte au Wariable, im Geegensatz zur abstrakte Algebra wärde in dr elementare Algebra käini algebraische Strukture wie Vektorrüüm betrachtet.

Wariable

Dr Vordäil wo mä het, usser de Zaale und de Grundrächenarte au Warible brucht, isch ass allgemäini Gsetzmäässigkäite breziis und vor allem übersichtlig chönne formuliert wärde. Grundlegendi Gsetzmäössigkäite vo de reelle Zaale sin zum Bischbil s Kommutativgsetz, s Asooziativgsetz oder s Distributivgsetz.

Usserdäm cha mä mit Wariable Gliichige oder Ungliichige ufstelle und undersueche, lb si löösbar si. E Bischbil für e Gliichig mit äinere Wariable isch $3x+2=10$ . Wenn d Definizioonsmängi für $x$ d Mängi vo de rationale Zaale isch, denn het die Gliichig genau äi Löösig, nämlig ${\tfrac {8}{3}}$ . Wemm mä die Zaal für $x$ in d Gliichig iisetzt, denn entstoot e woori Ussaag, bi allen andere Iisetzige entstöön falschi Ussaage. Wenn $x$ aber e ganzi Zaal söll si, denn het die Gliichig gar käi Löösig.

Mit Wariable cha mä au funktionali Abhängigkäite beschriibe: Wemm mä zum Bischbil $x$ Iidrittscharte zum ene Stückbriis vo 3 € verchauft und Fixchöste vo 10 €, het, denn macht mä e Gwünn vo $(3x-10)$ €.

Terme

E Term isch aaschaulig e sinnvolli mathematischi Zäicheserii. Genauer bestoot e Term in dr Algebra us Zaale, Variable, arithmetische Operazioone (dodrzue ghööre die vier Grundrächenarte, s Potenziere, Wurzelzieh und s Logarithmiere) und Chlammere as Hilfszäiche.

E Bischbil isch $x^{2}-4$ . Wenn s im Term Wariable het, so wird us em e Zaal, wemm mä alli Wariable dur Elimänt vo dr Grundmängi ersetzt. Do muess mä bim Dividiere ufbasse, ass nit dur 0 dividiert wird. Bim Wurzelzieh döfe as Radikande nume Zaale vorcho, wo nid negativ si, und bim Logarithmiere müess d Argumänt positivi Zaale si.

Wie in dr Arithmetik isch s au in dr Algebra wichdig, ass mä genau wäiss, wie mathematischi Terme interpretiert wärde. Das wird vo de Vorrangreegle vo de Operazioone bestimmt (zum Bischbil "Punkträchnig vor Strichrächnig", Chlammere zerst usrächne).

Zum Gliichige und Ungliichige lööse, muess mä Terme umforme. Zum Bischbil cha dr Usdruck $-4(2a+3)-a$ au as $-9a-12$ gschriibe wärde. Die bäide Term sin ekwiwalänt. Für die wichdigste Termumformige wändet mä d Gsetz und Reegle vom Zaalerächne aa. Sonigi Reegle zum ekwiwalänti Terme überzchoo si:

S Kommutativ- und s Assoziativgsetz vo dr Addizioon und dr Multiplikazioon,
s Distributivgsetz (Chlammrereegle),
binomischi Formle,
d Potenzgsetz und
d Logarithmegsetz.

Gliichige und Ungliichige

→ Hauptartikel: Gleichung

→ Hauptartikel: Ungleichung

E Gliichig bestoot us zwäi Terme, und zwüsche dene stoot e Gliichhäitszäiche. En Ungliichig bestoot us zwäi Terme, und zwüsche dene stoot en Ungliichhäitszäiche. Wenn in bäide Terme käini Wariable vorchömme, denn isch d (Un)-Gliichig en Ussaag, im andre Fall en Ussaagform. D Mängi vo de Elimänt, wo mä für die Wariable daf iisetze, häisst Grundmängi oder Definizioonsmängi. Alli Elimänt vo dr Definizioonsmängi, wo wmm mä sä für d Wariable iisetzt und d (Un)-Gliichig zun ere woore Ussaag wird, häisse Löösige vo dr (Un)-Gliichig. Alli Löösige fasst mä zur Löösigsmängi $L$ zämme.

Zum Bischbil isch d Gliichig $x^{2}-4=0$ nume für d Wärt 2 und −2 vo $x$ erfüllt. D Löösigsmängi bestoot also us de bäide Elimänt −2 und 2, also $L=\left\{-2;2\right\}$ .

Es git Gliichige, wo mä alli Elimänt us dr Definizioonsmängi cha iisetze und immer e woori Ussaag überchunnt, wie zum Bischbil $a+(b+c)=(a+b)+c$ . Sonige Gliichige säit mä si sige allgenäingültig.

Die wichdigsti Methode zum Gliichige oder Ungliichige z lööse si Ekwiwalänzumformige. Si verändere d Löösigsmängi vo dr Gliichig oder Ungliichig nit. Bischbil für Ekwiwalänzumformige sin:

wemm mä e Term dur en ekwiwalänte Term ersetzt.
wemm mä gliichi Zaale (Term) uf bäide Site vo dr Gliichig oder Ungliichig addiert oder subtrahiert.
wemm mä bäidi Site vo dr Gliichig oder Ungliichig mit em gliiche Term multipliziert oder dividiert, solang dä bi käinere Iisetzig, wo zuelässisg isch, dr Wärt 0 aanimmt. Bi Ungliichige muess d „Richdig“ vom Ungliichhäitszäiche umdräit wärde, wenn d Zaal, wo mit ere multipliziert oder dividiert wird, negativ isch.
Logarithmiere, so lang alli Terme bi alle zuelässige Iisetzige nume positive Wärt aanäme. Bi Ungliichige muess mä eventuell d Fäll underschäide, wenn d Wärt vo de Terme gröösser, chliiner oder gliich 1 si.
Wemm mä us de Terme, wo uf bäide Site vom Gliichhäitszäiche stöön, d Wurzle ziet, bechunnt mä as ekwiwalänti Ussaagform d Disjunkzioon vo zwäi Gliichige. D Gliichig $x^{2}-4=0$ isch kwiwalänt zur Disjunkzioon $x=2\vee x=-2$ .

Für kwadratischi Ungliichige mit

a\in \mathbb {R} ,a>0

gältet:

x^{2}>a\Leftrightarrow x>{\sqrt {a}}\quad {\text{oder}}\quad x<-{\sqrt {a}},

x^{2}<a\Leftrightarrow -{\sqrt {a}}<x<{\sqrt {a}}.

Käi Ekwiwalänzumformig isch zum Bischbil s Kwadriere wemm mä Wurzelgliichige lööst.

Gliichige, wo in dr elementare Algebra betrachtet wärde, weere (mit Bischbil):

lineari Gliichige	$a\cdot x=b$ ,
lineari Gliichigssüsteem	${\begin{matrix}3x_{1}&+&2x_{2}&-&x_{3}&=&1\\2x_{1}&-&2x_{2}&+&4x_{3}&=&-2\\-x_{1}&+&{1 \over 2}x_{2}&-&x_{3}&=&0\end{matrix}}$
kwadratischi Gliichige	$ax^{2}+bx+c=0\quad$
äifachi kubischi Gliichige	$A\cdot x^{3}+B\cdot x^{2}+C\cdot x+D=0\quad {\text{mit}}\quad A,B,C,D\in \mathbb {C} \quad {\text{und}}\quad A\neq 0$ .
bikwadratischi Gliichige	$Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0\,$
Bruchgliichige	${\frac {2x+1}{4x^{2}-9}}-{\frac {2-x}{2x^{2}+3x}}\,=\,{\frac {1}{x}}$
Wurzelgliichige	${\sqrt {8-2x}}\,=\,1+{\sqrt {5-x}}$
äifachi Exponenzial- und Logarithmegliichige
und d Ungliichige, wo drzue ghööre.

Zämmehäng

Wenn e Waar netto 140 € chostet, was chostet si brutto bi 19 % Meerwärtstüür? Dr Zämmehang zwüschen em Nettobriis, em Bruttobriis und dr Meerwärtstüür cha mä eso erklääre: Mä bechunnt dr Bruttobriis über, wemm mä zum Nettobriis d Meerwärtstüür (19 % vom Nettobriis) drzue rächnet. Mit WortWariable cha mä s eso sääge: Bruttobriis = Nettobriis + 19 % vom Nettobriis. Es isch no übersichtliger, wemm mä Buechstabe brucht: B = N + 19 % vo N. Oder ekwiwalänt umgformt B = 1,19 · N. Die Gliichig beschribt für alli mööglige Nettobriis N dr Zämmehang mit de Bruttobriis B, wo zuen ene ghööre.

Litratuur

Schüler Duden: Die Mathematik 1, Dudenverlag Mannheim 1990, ISBN 3-411-04205-2

Dä Artikel basiert uff ere fräie Übersetzig vum Artikel „Elementare Algebra“ vu de dütsche Wikipedia. E Liste vu de Autore un Versione isch Algebra&action=history do z finde.