Lineari Gliichigssüsteem

As linears Gliichigssüsteem wird in dr lineare Algebra e Süsteem vo lineare Gliichige bezäichnet, wo meereri umbekannte Gröössene (Wariable) enthalte.

En entsprächends Süsteem für drei Umbekannti $x_{1},$ $x_{2},$ $x_{3}$ gseet öbbe eso us:

${\begin{matrix}3x_{1}&+&2x_{2}&-&x_{3}&=&1\\2x_{1}&-&2x_{2}&+&4x_{3}&=&-2\\-x_{1}&+&{1 \over 2}x_{2}&-&x_{3}&=&0\end{matrix}}$

Für $x_{1}=1,$ $x_{2}=-2,$ $x_{3}=-2$ sin alli drei Gliichige erfüllt, es handlet sich um e Löösig vom Süsteem.

Allgemäin cha mä e linears Gliichigssüsteem mit $m$ Gliichige und $n$ Umbekannte immer in d Form undedraa bringe:

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}\,+&\cdots &+\,a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}\,+&\cdots &+\,a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\&&&\vdots &\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}\,+&\cdots &+\,a_{mn}x_{n}&=&b_{m}\\\end{matrix}}$

Mit Gliichigssüsteem wärde Zämmehäng modelliert zum Gröössene chönne bestimme, wo mä dra intressiert isch.

Wenn im e lineare Gliichigssüsteem alli $b_{i}$ gliich 0 si, säit mä, si sige homogen, im andre Fall inhomogen. Homogeni Gliichigssüsteem häi immer wenigstens die sogenannti driviali Löösig, wo alli Wariable gliich 0 sin. Bi inhomogene Gliichigssüsteem chas aber bassiere, ass überhaupt käi Löösig existiert.

D Matrixform

Für zum lineari Gliichigssüsteem z behandle, isch s vilmol nützlig, alli Koeffiziänte $a_{ij}$ zun ere Matrix $A,$ dr sogenannte Koeffiziäntematrix zämmezfasse:

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}$

Denn cha mä au no alli Umbekannte und die rächti Site vom Gliichigssüsteem zu äispaltige Matrize (das sin Spaltewektore) zämmefasse:

$x={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}};\qquad b={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}$

E linears Gliichigssüsteem wird, wemm mä d Matrix-Wektor-Multiplikazioon aawändet, churz eso gschriibe

$A\cdot x=b.$

D Koeffiziänte $a_{ij}$, die Umbekannte $x_{j}$ und au d $b_{i}$ stamme us em gliiche Körper $K$. Bsundrigs gilt

$A\in K^{{m}\times {n}},$ $b\in K^{m}$ und $x\in K^{n}.$

Zum e linears Gliichigssüsteem festzleege, isch s nit nöötig, ass mä die Umbekannte aagit. Es längt, wemm mä die erwitereti Koeffiziäntematrix aagit, wo entstoot, wenn mä an d Koeffiziäntematrix $A$ e Spalte mit dr rächte Site $b$ vom Gliichigssüsteem draahängt:

$\left({\begin{array}{c|c}A&b\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cccc|c}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}&b_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}&b_{m}\end{array}}\right)$

Litratuur

• G. Frobenius: Zur Theorie der linearen Gleichungen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik = Crelle's Journal. Bd. 129, 1905 ISSN 0075-4102, S. 175–180, Digitalisat.
• Andreas Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme. Eine Einführung in moderne Verfahren. 2. Uflaag. Vieweg, Wiesbade 2005, ISBN 3-528-13135-7.
• Falko Lorenz: Lineare Algebra. Band 1. 4. Uflaag. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelbärg u. a. 2003, ISBN 3-8274-1406-7.
• Gerd Fischer: Lineare Algebra. 15., verbessereti Auflage. Vieweg, Wiesbade 2005, ISBN 3-8348-0031-7. 

Weblingg

• PDF-Sammlung uf gecco.info Usfüerligi Beschriibig vo verschiidene Löösigsmögligkäite vo lineare Gliichigssüsteem (äifach, ooni Matrize)
• Arndt Brünner Scripts Onläin-Rächner zum Lööse vo lineare Gliichigssüsteem.
• Onläin-Lööser für lineari Gliichigssüsteem (änglisch, aber understützt Parameter)
• Iifüerig zu de 3 Löösigsverfaare (Video) für Schüeler und Studänte