Satz des Pythagoras

Us der alemannische Wikipedia, der freie Dialäkt-Enzyklopedy
Hops zue: Navigation, Suech
Im ene rächtwingglige Dreiegg mit de Kathete a und b und dr Hypotenuse c isch d Summe vo de Kathetekwadrat a² und b² gliich em Hypotenusekwadrat c².

Dr Satz vom Pythagoras isch äine vo de fundamentale Setz in dr euklidische Geometrii. Er säit, ass in alle ebene rächtwingglige Dreiegg d Summe vo de Flechiinhalt vo de Kathetekwadrat gliich grooss wie dr Flechiinhalt vom Hypotenusekwadrat isch. Wenn a und b d Lengene vo de Site si, wo dr rächt Winggel usmache, das si d Kathete, und c d Lengi vo dr Site, wo wisawii vom rächte Winggel lit, das isch dHypotenuse, denn lutet dr Satz usdruggt as Gliichig:

a^2 + b^2 = c^2

Dr Satz isch noch em Pythagoras vo Samos benennt, wo mä von em verzelt, ass er as Erster e mathematische Bewiis drfür gfunde häig. Das isch in dr Forschig umstritte. D Ussaag vom Satz isch scho lang vor dr Zit vom Pythagoras z Babylon und Indie bekannt gsi. Es git aber käi Noochwiis drfür, ass mä dört au e Bewiis gha het.

Bewiis[ändere | Quälltäxt bearbeite]

Es git Hunderti vo Bewiis für dä Satz. Doo wärde nume äi geometrische und äi algebraische Bewiis daargstellt.

Wie mä vier rächtwinggligi Dreiegg mit de Kathete a und b in e Kwadrat mit dr Sitelengi a+b iineduet

In e Kwadrat mit dr Sitelengi a + b wärde vier gliichi (kongruänti) rächtwinggligi Dreiegg mit de Site a, b und c (Hypotenuse) iinw gläit. Das cha mä uf zwäi Arte mache, wie mä s im Diagramm cha gsee.

D Flechene vom lingge und vom rächte Kwadrat si gliich grooss (Sitelengi a + b). S linggee bestoot us de vier rächtwingglige Dreiegg und eme Kwadrat mit ere Sitelengi c, s rächte us de gliiche Dreiegg und eme Kwadrat mit ere Sitelengi a und eme zwäite Kwadrat mit dr Sitelengi b. D Flechi c^2 entspricht also dr Summe vo dr Flechi a^2 und dr Flechi b^2, also

a^2 + b^2 = c^2.
Geometrische Bewiis vom Satz vom Pythagoras (Animazioon)

En algebraischi Löösig git s us em linggen Bild. S groosse Kwadrat het e Sitelengi a+b, und eso e Flechi vo (a+b)^2. Zieht mä vo dere Flechi die vier Dreiegg ab, wo jedes von ene e Flechi vo \tfrac{ab}2 (also im Ganze 2ab) het, so blibt d Flechi c^2 übrig. Es isch also

(a+b)^2 = 2ab+c^2.

Us dr Uflöösig vo dr Chlammere folgt

a^2+2ab+b^2 = 2ab+c^2.

Wemm mä jetz uf bäide Site 2ab abziet, blibt dr Satz vom Pythagoras übrig.

Litratuur[ändere | Quälltäxt bearbeite]

  • Anna M. Fraedrich: Die Satzgruppe des Pythagoras. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1994. ISBN 3-86025-669-6
  • Hans Schupp: Elementargeometrie. UTB, Stuttgart 1977. ISBN 3-506-99189-2, S. 114–118
  • Alexander K. Dewdney: Reise in das Innere der Mathematik. Birkhäuser, Berlin 2000. ISBN 3-7643-6189-1, S. 47–76
  • Eli Maor: The Pythagorean Theorem: A 4,000-year History. Princeton University Press 2007, ISBN 0-691-12526-0
  • Alfred S. Posamentier: The Pythagorean Theorem: The Story of Its Power and Beauty. Prometheus Books 2010, ISBN 978-1-61614-181-3

Weblingg[ändere | Quälltäxt bearbeite]

 Allmänd (Commons): Satz des Pythagoras – Sammlig vo witere Multimediadateie

Einzelnachweise[ändere | Quälltäxt bearbeite]