Beweis (Mathematik)

Us der alemannische Wikipedia, der freie Dialäkt-Enzyklopedy
Hops zue: Navigation, Suech
E schematische Ufbau vom ene Bewiis

E Bewiis isch in dr Mathematik, wenn us ere Mängi vo Axiom, wo als woor vorusgsetzt wärde, und andere Ussaage, wo scho bewiise si, ooni Fehler häärgläitet wird, ass en Ussaag richdig oder unrichdig isch. Zum e klaari Underschäidig zwüschen em Bewiis und em gültige Schluss z mache, reedet mä au vom axiomatische Bewiis.

Umfangriicheri Bewiis vo mathematische Setz wärde mäistens in meereri chliini Däilbewiis ufdäilt.

In dr Bewiistheorii, won e Däilgebiet vo dr mathematische Logik isch, wärde Bewiis formal as Abläitige ufgfasst und sälber as mathematischi Objekt aagluegt, zum öbbe d Bewiisbarkäit oder d Umbewiisbarkäit vo Setz us Axiom, wo gee sin, sälber z bewiise.

Konstruktivi und nit-konstruktivi Bewiis[ändere | Quälltäxt bearbeite]

Bim ene konstruktive Existänzbewiis wird äntwääder d Löösig, wo d Existänz von ere söll bewiise wärde, sälber gnennt oder e Verfaare aagee, wo zur Löösig füert, das häisst, es wird e Löösig konstruiert.

Bim ene nit-konstruktive Bewiis wird anhand vo Äigeschafte uf d Existänz von ere Löösig gschlosse. Mänggisch wird doo indiräkt d Aanaam, es gäb käi Löösig, zum Widerspruch gfüert, und us däm folgt, ass es e Löösig git. Us sonige Bewiis cha mä nit leere, wie mä d Löösig findet.

Bischbil[ändere | Quälltäxt bearbeite]

Behauptig: D Funkzioon f mit f(x) = 2x - 1 het im Interwall [0,1] e Nullstell x_0.

Konstruktive Bewiis: Sig x_0 = 0{,}5. Denn gältet f(x_0) = 2\cdot x_0 - 1 = 2\cdot 0{,}5 - 1 = 1 - 1 = 0. Färner lit x_0 = 0{,}5 im Interwall [0,1]. Eso isch d Behauptig bewiise. D Löösig, das isch d Nullstell, isch sogar mit x_0 = 0{,}5 aagee.

Nit-konstruktive Bewiis: f isch steetig. Färner isch f(0) = -1 < 0 und f(1) = 1 > 0. Noch em Zwüschewärtsatz für steetigi Funkzioone folgt d Behauptig. Über e Wärt vo dr Nullstell liiferet dä Bewiis käi Informazioon.

Bewiismethode[ändere | Quälltäxt bearbeite]

Es git verschidnigi Methode, zum öbbis z bewiise. Bim indiräkte Bewiis (Reductio ad absurdum, Widerspruchsbewiis) zäigt mä, ass e Widerspruch entstoot, wenn d Behauptig, wo mä wil bewiise, falsch weer. Bim Bewiis dur vollständigi Indukzioon foot mä mit ere Ussaag aa, wo bewiisenermaasse woor isch, und baut uf dere mit logisch richdige Schritt dr Bewiis uf. Bim Bewiis dur vollständigi Fallunderschäidig luegt mä alli Fäll aa, wo chönne iidräte, und bewiist jeede äinzeln. Witeri Bewiismethode si s Diagonalverfaare, s Schublaadebrinzip und die Transfiniti Indukzioon.

Litratuur[ändere | Quälltäxt bearbeite]

Weblingg[ändere | Quälltäxt bearbeite]

Wikibooks-logo.svg Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Beweis — Lern- und Lehrmaterialie
Wikibooks-logo.svg Wikibooks: Beweisarchiv — Lern- und Lehrmaterialie

Dä Artikel basiert uff ere fräie Übersetzig vum Artikel „Beweis_(Mathematik)“ vu de dütsche Wikipedia.

E Liste vu de Autore un Versione isch do z finde.