Fundamentalsatz der Arithmetik

Us der alemannische Wikipedia, der freie Dialäkt-Enzyklopedy
Hops zue: Navigation, Suech

Dr Fundamentalsatz vo dr Arithmetik oder Hauptsatz vo dr elementare Zaaletheorii säit us, ass jeedi natüürligi Zaal in Primfaktore cha zerlegt wärde und dass die Zerleegig in dr kanonische Daarstellig äidütig isch.

D Bewiise für die bäide Ussaage sin elementar, wärde klassisch as Widerspruchsbewiis formuliert und nütze d Woolordnig vo de natürlige Zaale us. Zum erste Mol isch dr Satz vollständig und korräkt vom Carl Friedrich Gauß in de Disquisitiones Arithmeticae bewiise worde. Er isch aber in ere liicht abgwandlete Form scho im Euklid bekannt gsi.

Dr Bewiis vo dr Existänz[ändere | Quälltäxt bearbeite]

Mä ordnet em Äins s leere Brodukt zue und jedi Primzaal sig sälber iiri Primfaktorzerleegig. Jetz muess mä zäige, ass alli rästlige natürlige Zaale daatsächlig us Primfaktore zämmegsetzt si.

Aagnoo, es git Zaale, wo mä nit as Brodukt vo Primzaale cha daarstelle, denn git s au e chliinsti sonigi Zaal (gnennt ), wäge dr Woolordnig vo . Wil denn weder s Äins non e Primzaal isch, het s e Däiler, und eso existiere zwäi natürligi Zaale mit und bäidi si gröösser as Äins und chliiner as . Wil die chliinsti Zaal isch, wo käi Brodukt vo Primfaktore isch, müesse und also Primfaktorzerleegige haa, öbbe und . Denn isch aber au e Primfaktorzerleegig vo , im Widerspruch zu was mä aagnoo het.

Dr Bewiis vo dr Äidütigkäit[ändere | Quälltäxt bearbeite]

Aagnoo, es git natürligi Zaale wo jedi meereri underschidligi Zerlegige het, denn git s wider au e chliinsti, gnennt . Die cha käi Primzaal si und zwäi Zerleegige vo chönne käi gmäinsame Primfaktor enthalte, wil denn au zwäi verschiideni Zerleegige hätti und chliiner as weer, im Widerspruch zur Aanaam, ass minimal isch. Es gilt also öbbe , und doo si und Primzaale, und es gilt au . S abschliessende Argumänt isch s Lemma vom Euklid: Wenn e Primzaal e Brodukt däilt, so däilt s au äine vo de Faktore. Wil dur cha däilt wärde, muess äine vo de Faktore vo dr andere Zerleegig dur däilbar si und das isch , denn isch e Primzaal. Also daucht jede Primfaktor immer in bäide Zerleegige uf und dorum sin si idäntisch.

Information icon.svg Dä Artikel basiert uff ere fräie Übersetzig vum Artikel „Primfaktorzerlegung“ vu de dütsche Wikipedia.

E Liste vu de Autore un Versione isch do z finde.