Zum Inhalt springen

Dräiäcksungliichung

Us der alemannische Wikipedia, der freie Dialäkt-Enzyklopedy
Dialäkt: Mìlhüüserdiitsch

Ìn dr Geometrii ìsch d’ Dräiäcksungliichung a Sàtz, wo sajt, àss a Dräiäcksitta kìrzer odd’r so làng wia d’ Summa vu da baida àndra Sitta-n-ìsch.

D’ Dräiäcksungliichung schpììlt àui ìn àndra Tailgebiata vu dr Màthemàtik a wìchtiga Rolla, wia zem Biischpììl ìn dr Lineààra Àlgebra odd’r dr Funkzioonsànàlüüsa.

Bschriiwung vu dr Ungliichung

[ändere | Quälltäxt bearbeite]

fìr àllgmaina Dräiäcka

[ändere | Quälltäxt bearbeite]
Dreieck
Dreieck

Noh dr Dräiäcksungliichung ìsch ìm Dräiäck d’ Summa vu da Länga vu zwai Sitta un schtets mìndeschtens so grooss wia d’ Länga vu dr drìtta Sitta :

.

Maa kààt àui sààga, dr Àbschtànd vun A uff B ìsch klainer odd’r soo grooss wia dr Àbschtànd vun A uff C un vu C uff B zamma. Aifàcher gsajt: „Dr diräkta Waag ìsch ìmmer dr kìrzescht.“

S’ Gliichhaitszaicha gìlt numma, wänn un Tailschträcka vun sìnn – àlso wänn dr Dräiäck äntàrtet ìsch.

Waaga dr Sümmetrii hàt maa-n-àui , un domìt ; maa hàt àui nàdììrlig . Àlso ìnsgsàmt:

.

D’ lìnka Ungliichung nännt maa-n-àui mànckmol umgekehrta Dräiäcksungliichung.

D’ Dräiäcksungliichung düat Àbschtànds- un Betrààgsfunkzioona kàràkterisiara. Sa wìrd àlso àls Axiom fìr àbschtràkta-n-Àbschtàndsfunkzioona ìn meetrischa Ràuima gsätzt.

fìr rachtwìnkliga Dräiäcka

[ändere | Quälltäxt bearbeite]

Ìsch d’ Länga vu dr Hüpothenüüsa un sìnn un d’ Kàtheetalänga vu’ma rachtwìnkliga Dräiäck, soo gìlt d’ schpeziälla Dräiäcksungliichung .[1][2]

fìr reälla Zààhla

[ändere | Quälltäxt bearbeite]

Fìr reälla Zààhla un gìlt:

Bewiis: Säjga un reälla Zààhla. Äntwaader ’s ìsch odd’r ’s ìsch . Fìr dr Fàll gìlt , un d’ Summa làsst sìch waaga un nach oben àbschätza dur . Ìnsgsàmt hàt maa somìt . Fìr dr Fàll gìlt , un làsst sìch waaga un eewafàlls dur nach oben àbschätza, so dàss àui ìn dam Fàll .

d’ umgekehrta Dräiäcksungliichung

[ändere | Quälltäxt bearbeite]

Wia biim Dräiäck kààt maa-n-àui a umgekehrta Dräiäcksungliichung harlaita

Uffgrund dr Dräiäcksungliichung gìlt Wänn maa iisätzt, nooh hàt maa

Wänn maa schtàttdässa sätzt, nooh hàt maa

zamma àlso (dänn fìr beliabiga reälla Zààhla und mìt un gìt àui )

Wänn maa dur ärsätzt, noh ärhàlt maa-n-àui

Ìnsgsàmt àlso

fìr àlla

fìr kùmpläxa Zààhla

[ändere | Quälltäxt bearbeite]

Fìr kùmpläxa Zààhla gìlt:

Bewiis:

Wial àlla Sitta nìtnegàtiiv sìnn, ìsch s’ Kwàdriara-n-a Äkwiwàlanzformung un maa ärhàlt
dr Ìwwerschtrìch bediitet doo a kùmpläxa Konjugàzioon. Wänn maa gliicha-Üssdrìck schtriicht un sätzt, soo blibbt
z’ zaiga. Mìt ärhàlt maa
bzw.
wàs waaga un dr Monotonii vu dr (reälla) Wurzelfunkzioon ìmmer ärfìllt ìsch.

Wia biim reälla Fààl folgt üss dara Ungliichung àui

fìr àlla

vu Betrààgsfunkzioona fìr Käärwer

[ändere | Quälltäxt bearbeite]

Zamma mìt àndra Forderunga wìrd a Betrààgsfunkzioon fìr a Käärwer àui dur d’

Dräiäcksungliichung

gsätzt. Sa müass fìr àlla galta. Wänn àlla Forderunga ärfìllt sìnn, noh ìsch a Betrààgsfunkzioon fìr dr Käärwer

Ìsch fìr àlla gànza , nooh nännt maa dr Betrààg nìtàrkimeedisch, sunscht àrkimeedisch.

Bii nìtàrkimeedischa Betraag gìlt d’

verschärfta Dräiäcksungliichung

Sa màcht dr Betrààg züa ainem ultràmeetrischa. Umgekehrt ìsch jeeder ultràmeetrischa Betrààg nìtàrkimeedisch.

fìr Summa un Ìntegrààla

[ändere | Quälltäxt bearbeite]

Wämm’r mehrmols d’ Dräiäcksungliichung bzw. vollschtandiga Ìndukzioon ààwanda düat, nooh ärhàlt maa

fìr reälla odd’r kùumpläxa Zààhla . Dia Ungliichung gìlt àui, wänn maa Ìntegrààla ààschtälla vu Summa betràchtet:

Ìsch a Riemann-ìntegriarbààra Funkzioon, nooh gìlt

.[3]

Dàs gìlt àui fìr kùmpläxwaartiga Fukzioona .[4] Nooh gìtt’s naamlig a kùmpläxa Zààhl , so dàss

und .

Wial

reäll ìsch, müass gliich Null sìì. Üsserdam gìlt

,

ìnsgsàmt àlso

.

Fìr Wektoora gìlt:

.

D’ Gìltikait vu dara Beziihung sììht maa dur Quadrieren

,

unt’r Ààwandung vu dr Cauchy-Schwarzscha Ungliichung:

.

Àui doo folgt wia-n-ìm reälla Fàll

so wia

fìr Kugeldräiäcka

[ändere | Quälltäxt bearbeite]
zwai Kugeldräiäcka

Ìn Kugeldräiäcka gìlt d’ Dräiäcksungliichung ìm Àllgmaina nìt. Sa gìlt jedoch, wänn ma sìch uff eulerscha Dräiäcka beschrànkt, àlso salla, ìn dana jeeda Sitta kìrzer àls a hàlwer Groosskrais ìsch.

Ìn dr Àbbìldung doo dràà gìlt zwààr

jedoch ìsch .

fìr nomiarta Ràuima

[ändere | Quälltäxt bearbeite]

Ìn’ma normiarta Ràuim wìrd d’ Dräiäcksungliichung ìn dr Form

àls aina vu da Aigaschàfta gfordert, wo d’ Norm fìr àlla müass ärfìlla. Bsunderscht folgt àui doo

so wia

fìr àlla .

Ìm Schpeziààlfàll vu da Lp-Ràuima wìrd d’ Dräiäcksungliichung Minkowski-Ungliichung gnännt un mìttels dr Hölderscha Ungliichung bewììsa.

fìr meetrischa Ràuima

[ändere | Quälltäxt bearbeite]

Ìn’ma meetrischa Ràuim wìrd àls Axiom fìr d’ àbschtàkta-n-Àbschtàndsfunkzioon verlàngt, àss d’ Dräiäcksungliichung ìn dr Form

fìr àlla ärfìllt ìsch. Ìn jeedem meetrischa Ràuim gìlt àlso per Definizioon d’ Dräiungsungliichung. Drüss làss sìch àblaita, àss ìn’ma meetrischa Ràuim àui d’ umgekehrta Dräiäcksungliichung

fìr àlla gìlt. Üsserdam gìlt fìr beliabiga d’ Ungliichung

.

Lìteràtüür

[ändere | Quälltäxt bearbeite]
  • Dreiecksungleichung. In: Brockhüüs Enzüklopädii. Brockhüüs (brockhaus.de [abgerufen am 8. Oktober 2023]).
  • Triangle inequality. In: Encyclopædia Britannica. Encyclopædia Britannica, Inc. (britisches Englisch, britannica.com [abgerufen am 7. Oktober 2023]).
  • Triangle inequality. In: Paul E. Black (Hrsg.): Dictionary of Algorithms and Data Structures. National Institue of Standards and Technology, 2004 (amerikanisches Englisch, nist.gov [abgerufen am 7. Oktober 2023]).
 Commons: Dräiäcksungliichung – Sammlig vo Multimediadateie

Ainzelnoohwiisa

[ändere | Quälltäxt bearbeite]
  1. Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, diischschproochiga-n-Üssgààb vu Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berliin/Haidelbäärch 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, S. 18
  2. Canadian Mathematical Olympiad 1969 Problem 3, veräffentligt vu dr Canadian Mathematical Society
  3. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1. 8. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6. Satz 85.1
  4. Walter Rudin: Real and Complex Analysis. MacGraw-Hill, 1986, ISBN 0-07-100276-6. Theorem 1.33
Dä Artikel basiert uff ere fräie Übersetzig vu dere Version vum Artikel „Dreiecksungleichung“ vu de hochdütsche Wikipedia. E Liste vu de Autore un Versione isch do z finde.