Division (Mathematik)

$20: 4=5$

D Division isch eini vo de vier Grundrächenarte in dr Arithmetik. Si isch d Unchehroperation vo dr Multiplikation. D Division wird umgangssprochlig au as Deile bezeichnet. Die schriftligi Division isch d Methode vom Deile mit Bleistift und Papier, wo in dr Schuel glehrt wird.

Definition [ändere]

In de Körper vo de rationale, reelle und komplexe Zahle gältet:

Für jedi Zahl $a$ und für jedi, vo null verschiideni, Zahl $b$ git s genau ei Zahl $x$ , wo die folgendi Gliichig erfüllt:

$b \cdot x = a$ (wird «b mol x gliich a» gläse).

D Umchehrig vo dr Multiplikation zur Bestimmig vo $x$ heisst Division. $x$ loot sich bestimme, indäm mä $a$ dur $b$ dividiert («deilt»):

$x=a:b$ (wird «x gliich a deilt dur b» gläse).

Begriff [ändere]

D Zahl $a$ , wo deilt wird, heisst «Dividend» (lat. wörtlig das wo y deile isch).

D Zahl $b$ , wo drdur deilt wird, heisst «Divisor» (dr Deiler).

Dr Term $a:b$ heisst «Quotient».

S Ergäbnis vo dr Division heisst «Wärt vom Quotiente».

Für d Division gältet weder s Kommutativgsetz no s Assoziativgsetz.

Für $x = a: b$ gältet usserdäm $x = \tfrac{1}{b} \cdot a$ .

D Umchehrig vo dr Multiplikation zur Bestimmig vo $x$ loot sich also au mit dr Multiplikation vo dr Umchehrig (Gegedeil) vom 1 Faktor bestimme.

Division dur null [ändere]

Dr Divisor muess ungliich null si, wil sust dr Quotient $a: b$ as Lösig vo dr Gliichig $b \cdot x = a$ für $b = 0\$ nid eidütig definiert isch:

Gäb s zun ere Zahl $a \ne 0$ e Zahl $x = \frac{a}{0}$ , so wär die Zahl Lösig vo dr Gliichig $a = x \cdot 0 = 0$ , womit sich e Widerspruch zur Vorussetzig $a \ne 0$ wurd ergee, d. h. es git kei Lösig für $x$ .

Wär d Division vo null dur null definiert, gäb s also e Zahl $x = \frac{0}{0}$ , so wär die Zahl e (eidütigi) Lösig vo dr Gliichig $x \cdot 0 = 0$ , also zun ere Gliichig, wo für jedes $x\in\R$ richtig isch. Dodrmit isch aber dr Bruch $\frac{0}{0}$ nid eidütig definiert und isch dorum unbestimmt.