Lemma von Nakayama

Des Lemma vom Nakayama isch äbbäs Lemma, wo in der kommutative Algebra benutzt wird. S hätt Lütt wo s Lemma au Krull–Azumaya-Satz nänne duet. Es säit us:

Wenn M en ändlig erzügte nittriviale R-Modul isch und ${\mathfrak {a}}$ en Ideal, wo im Jacobson-Radikal vo R lit, denn isch ${\mathfrak {a}}M\neq M$.

Bewiis

Es sig $\{u_{1},\ldots ,u_{n}\}$ e minimals Erzüügendesystem vo M. Mr näme ${\mathfrak {a}}M=M$ aa.

Wäge $u_{n}\in {\mathfrak {a}}M$ gäb s denn e Gliichig vo dr Form $u_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}$ mit $a_{i}\in {\mathfrak {a}}$, also $(1-a_{n})u_{n}=\sum _{i=1}^{n-1}a_{i}u_{i}$.

Wil $a_{n}$ im Jacobson-Radikal lit, isch dr Faktor $1-a_{n}$ en Eiheit, s Erzüügendesystem also nit minimal.

Folgerige

• Isch M en ändlig erzügte R-Modul, N en Undermodul und ${\mathfrak {a}}\subset J(R)$ en Ideal, so gältet

$M={\mathfrak {a}}M+N\ \Rightarrow \ M=N$.