Lineares Gleichungssystem

Us der alemannische Wikipedia, der freie Dialäkt-Enzyklopedy
Hops zue: Navigation, Suech

As linears Gliichigssüsteem wird in dr lineare Algebra e Süsteem vo lineare Gliichige bezäichnet, wo meereri umbekannte Gröössene (Wariable) enthalte.

En entsprächends Süsteem für drei Umbekannti x_1, x_2, x_3 gseet öbbe eso us:

\begin{matrix}
3x_1 & + &           2x_2 & - & x_3 & = & 1\\
2x_1 & - &           2x_2 & + & 4x_3 & = & -2\\
-x_1 & + & {1 \over 2}x_2 & - & x_3 & = & 0
\end{matrix}

Für x_1 = 1, x_2 = -2, x_3 = -2 sin alli drei Gliichige erfüllt, es handlet sich um e Löösig vom Süsteem.

Allgemäin cha mä e linears Gliichigssüsteem mit m Gliichige und n Umbekannte immer in d Form undedraa bringe:

\begin{matrix}
a_{11} x_1 +  a_{12} x_2 \, + & \cdots & +\, a_{1n} x_n & = & b_1\\
a_{21} x_1 +  a_{22} x_2 \, + & \cdots & +\, a_{2n} x_n & = & b_2\\
&&&\vdots&\\
a_{m1} x_1 +  a_{m2} x_2 \, + & \cdots & +\, a_{mn} x_n & = & b_m\\
\end{matrix}

Mit Gliichigssüsteem wärde Zämmehäng modelliert zum Gröössene chönne bestimme, wo mä dra intressiert isch.

Wenn im e lineare Gliichigssüsteem alli b_i gliich 0 si, säit mä, si sige homogen, im andre Fall inhomogen. Homogeni Gliichigssüsteem häi immer wenigstens die sogenannti driviali Löösig, wo alli Wariable gliich 0 sin. Bi inhomogene Gliichigssüsteem chas aber bassiere, ass überhaupt käi Löösig existiert.

D Matrixform[ändere | Quälltäxt bearbeite]

Für zum lineari Gliichigssüsteem z behandle, isch s vilmol nützlig, alli Koeffiziänte a_{ij} zun ere Matrix A, dr sogenannte Koeffiziäntematrix zämmezfasse:

A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}

Denn cha mä au no alli Umbekannte und die rächti Site vom Gliichigssüsteem zu äispaltige Matrize (das sin Spaltewektore) zämmefasse:

x = \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix};\qquad
b = \begin{pmatrix} b_1\\ b_2 \\ \vdots \\ b_m\end{pmatrix}

E linears Gliichigssüsteem wird, wemm mä d Matrix-Wektor-Multiplikazioon aawändet, churz eso gschriibe

A \cdot x = b.

D Koeffiziänte a_{ij}, die Umbekannte x_j und au d b_i stamme us em gliiche Körper K. Bsundrigs gilt

A \in K^{{m}\times{n}}, b \in K^{m} und x \in K^{n}.

Zum e linears Gliichigssüsteem festzleege, isch s nit nöötig, ass mä die Umbekannte aagit. Es längt, wemm mä die erwitereti Koeffiziäntematrix aagit, wo entstoot, wenn mä an d Koeffiziäntematrix A e Spalte mit dr rächte Site b vom Gliichigssüsteem draahängt:

\left(\begin{array}{c|c}A & b\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{cccc|c} 
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2\\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &    \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m
\end{array}\right)

Litratuur[ändere | Quälltäxt bearbeite]

  • G. Frobenius: Zur Theorie der linearen Gleichungen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik = Crelle's Journal. Bd. 129, 1905 ISSN 0075-4102, S. 175–180, Digitalisat.
  • Andreas Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme. Eine Einführung in moderne Verfahren. 2. Uflaag. Vieweg, Wiesbade 2005, ISBN 3-528-13135-7.
  • Falko Lorenz: Lineare Algebra. Band 1. 4. Uflaag. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelbärg u. a. 2003, ISBN 3-8274-1406-7.
  • Gerd Fischer: Lineare Algebra. 15., verbessereti Uflag. Vieweg, Wiesbade 2005, ISBN 3-8348-0031-7.

Weblingg[ändere | Quälltäxt bearbeite]