Kosinussatz

Bezeichnungen im Dreieck

De Kosinussatz stellt i de Trigonometrii vo dr Ebeni e Beziehig zwüsched de Siite vomene Drüeck und em Kosinus vo eim vo de Winkel her. Für di drü Siite a, b und c vomene Drüeck sowie em Winkel gegenüber vo de unbekannte Siite gilted:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\,b\,c\,\cos \alpha$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2\,a\,c\,\cos \beta$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\,a\,b\,\cos \gamma$

Folgerige

Us em Kosinussatz chammer unter anderem au de Satz vom Pythagoras forme, wenn de Winkel $\gamma =90^{\circ }$ isch, s Drüeck also rechtwinklig isch. De Kosinus vo 90° isch jo denn Null, und do drus chamer folgere: $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot 0\rightarrow c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Bispiil

Di folgende Zahle sind grobi Nöherige. Geh seg es Drüeck ABC, wo alli drü Siite vorgeh sind.

$a=5\;{\rm {cm}}$

$b=4\;{\rm {cm}}$

$c=4{,}5\;{\rm {cm}}$

Gsuecht isch de Winkel $\beta$ (Normali Bezeichnige).

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2\cdot a\cdot c\cdot \cos \beta$

$2\cdot a\cdot c\cdot \cos \beta =a^{2}+c^{2}-b^{2}$

$\cos \beta \,=\,{\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2\cdot a\cdot c}}={\frac {(5\,{\rm {cm}})^{2}+(4\,{\rm {cm}})^{2}-(4.5\,{\rm {cm}})^{2}}{2\cdot 5\,{\rm {cm}}\cdot 4.5\,{\rm {cm}}}}=0{,}46$

$\beta =\arccos \,0{,}46={\underline {62{,}5^{\circ }}}$