Quälltext vu Differentialgleichung aaluege

{{DISPLAYTITLE:Differenzialgliichig}}
E '''Differenzialgliichig''' (vilmol mit '''DGL''' oder '''DG''' abkürzt) isch e mathematischi [[Gleichung|Gliichig]] für e gsuechti [[Funktion (Mathematik)|Funkzioon]] vo äinere oder meerere Wariable, wo din au [[Differentialrechnung|Abläitige]] vo dere Funkzioon vorchömme. E Hufe [[Physikalisches Gesetz|Naturgsetz]] chönne as Differenzialgliichige formuliert wärde. Si sin dorum e wääsentligs Wärkzüüg vo dr [[Mathematisches Modell|mathematische Modellierig]] und beschriibe, wie sich die verschiidene Gröössene im Bezuug zunenander ändere. 
[[Datei:Diff-field-lines.svg|thumb|S Richdigsfäld für <math>y' = y - x</math>]]
D [[Analysis]] undersuecht iiri Löösigstheorii. Für vili Differenzialgliichige git s käi expliziti Daarstellig von ere Löösig, und dorum spiile numerischi Verfaare wo dur Nööcherige Löösige finde, e wääsentligi Rolle. 

E Differenzialgliichig cha dur e [[Richtungsfeld|Richdigsfäld]] aaschaulig gmacht wärde.

== Tüpe vo Differenzialgliichige ==

Mä underschäidet verschiideni Tüpe vo Differenzialgliichige. Ganz grob cha mä si in gwöönligi, parzielli, differentiell-algebraischi, stochastischi, retardierti und integro-differenzielli iidäile. 

=== Gwöönligi Differenzialgliichige ===

Wenn die gsuechti Funkzioon nume vo äinere Wariable abhängt, so reedet mä von ere gwöönlige Differenzialgliichig. Es chömme nume gwöönligi Abläitige noch dr äinzige Veränderlige vor.

Bischbil:
:<math>y'(x)=-2\cdot y(x)+5,\qquad\ddot z(t)+4 \cdot z(t)=\sin(3\cdot t)</math>
Wemm mä e gwöönligi Differenzialgliichig für die gsuechti Funkzioon <math>y(x)</math> in dr Form

::<math>F\left(x,y(x),y'(x), \ldots, y^{(n)}(x)\right) = 0,</math>

schribt, so säit mä si sig ''implizit''.

Wenn d Differenzialgliichig noch dr höggste Abläitig ufglööst isch, d.&nbsp;h. es gältet

::<math> y^{(n)}(x) = f\left (x,y(x),y'(x), \ldots, y^{(n-1)}(x)\right ),</math>

so säit men ere ''explizit''. In de Aawändige isch s äifacher expliziti gwöönligi Differenzialgliichigen mathematisch z verarbäite. Dr höggste Abläitigsordnig <math>n</math>, wo vorchunnt, säit mä ''Ordnig vo dr Differenzialgliichig''. Zum Bischbil het en expliziti gwöönligi Differenzialgliichig vo dr 1. Ordnig d Form
:<math>y'(x) = f(x, y(x))\,.</math>
Es git en abgschlossnigi Löösigstheorie für expliziti gwöönligi Differenzialgliichige.

=== Parzielli Differenzialgliichig ===

Wenn die gsuechti Funkzioon vo meerere Wariable abhängt und wenn s in dr Gliichig [[partielle Ableitung|parzielli Abläitige]] noch mer as äinere Wariable git, so reedet mä von ere parzielle Differenzialgliichig. Parzielli Differenzialgliichige si e groosses Fäld und d Theorii isch mathematisch nit abgschlosse. D Forschig beschäfdigt sich zur Zit mit meerere Gebiet.

E Bischbil isch die sogenannti [[Wärmeleitungsgleichung|Wermiläitigsgliichig]] für e Funktion <math>u(t,x)</math>
:<math>\tfrac{\partial}{\partial t}u(t,x)=a^2\tfrac{\partial^2}{\partial x^2}u(t,x)</math>

Mä underschäidet verschiideni Tüpe vo parzielle Differenzialgliichige. Zerst git s ''lineari parzielli Differenzialgliichige''. Bi deene chömme die gsuechti Funkzioon und iiri Abläitige [[Lineare Abbildung|linear]] in dr Gliichig vor. D Abhängigkäit in Bezuug uf die unabhängige Wariable cha aber durchus nitlinear si. D Theorii vo de lineare parzielle Differenzialgliichige isch am witiste fortgschritte, aber es feelt no vil, bis si abgschlosse isch.

Mä reedet von ere ''semilineare'' Gliichig, wenn alli Abläitige vo dr höggste Ordnig linear ufdräte, aber nit d Funkzioon sälber und d Abläitige vo de niidrigere Ordnige. E semilineari Gliichig isch scho schwiiriger z behandle.

Von ere ''kwasilineare'' parzielle Differenzialgliichig schwätzt mä, wenn d Koeffiziäntefunkzioone vo de höggste Abläitige zuesätzlig vo niidrigere Abläitige und vo dr umbekannte Funkzioon abhänge. Grad im Gebiet vo de kwasilineare Gliichigen git s zur Zit die mäiste Resultaat.

Wemm mä käi lineari Abhängigkäit in Bezuug uf die höggste Abläitige cha feststelle, säit mä vo dr Gliichig, si sig e ''nitlineari parzielli Differentialgliichig'' oder e ''vollständig-nitlineari parzielli Differenzialgliichig''.

Bsundrigs intressant im Gebiet vo de parzielle Differenzialgliichige sin d Gliichige vo dr zwäite Ordnig. In dene Spezialfäll git s no witeri Klassifikazionsmöglikäite.

== Aawändige ==

E Hufe Fenomeen in dr [[Natur]] und dr [[Technik]] chönne dur Differenzialgliichige und mathematischi Modäll, wo ufe ene ufbaut si, beschriibe wärde. E baar tüpischi Bischbil si:

* Vili [[physik|füsikalischi]] Theorie basiere uf Differenzialgliichige: [[Bewegung (Physik)|Beweegigsgliichige]] oder [[Schwingung|Schwingige]] in dr [[klassische Mechanik]], s [[Balkentheorie|Belasdigsverhalte vo Baudäil]], d [[Elektrodynamik]] wird vo de [[Maxwell-Gleichungen|Maxwell-Gliichige]], d [[Quantenmechanik|Kwantemechanik]] vo dr [[Schrödingergleichung|Schrödingergliichig]] beherrscht.
* in dr [[Astronomie|Astronomii]] d [[Himmelsmechanik|Baane]] vo de Himmelskörper und d [[Turbulente Strömung|Turbulänze]] im Innere vo dr Sunne,
* in dr [[Biologie|Biologii]] öbbe d Brozäss bim [[Wachstum (Biologie)|Waggse]], bi [[Strömung|Ströömige]] oder in [[Muskel|Muskle]], oder in dr [[Evolutionstheorie|Ewoluzionstheorii]].
* in dr [[Chemie|Chemii]] d [[Reaktionskinetik|Kinetik vo Reakzioone]],
* in dr [[Elektrotechnik]] wie sich [[Netzwerk (Elektrotechnik)|Netzwärk]] mit Elimänt, wo Energii spiichere, verhalte,
* in dr [[Differentialgeometrie|Differenzialgeometrii]] s Verhalte vo Flechene,
* in dr [[Strömungsmechanik|Ströömigsmechanik]] s Verhalte vo Ströömige,
* in dr [[Volkswirtschaftslehre|Ökonomii]] d Analüse vo wirtschaftlige Waggsdumsbrozäss ([[Wachstumstheorie|Waggsdumstheorii]]).
* in dr [[Informatik]] s Image-[[Inpainting]]<ref>{{cite journal
 | author = Peterson, Ivars
 | year = 2002
 | month = May 11
 | title = Filling in Blanks
 | journal = Science News
 | volume = 161
 | issue = 19
 | pages = 299–300
 | url = http://findarticles.com/p/articles/mi_m1200/is_19_161/ai_104730239/
 | accessdate = 2008-05-11
 | doi = 10.2307/4013521
 | jstor = 10.2307/4013521
 | publisher = Society for Science &#38}}</ref>

S Fäld vo de Differenzialgliichige het d Mathematik aadriibe. In vile Däilgebiet forscht mä hüte an de Existänz-, Äidütigkäits- und Stabilidäätstheorie vo verschidnige Tüpe vo Differenzialgliichige.

== Litratuur ==
* G. H. Golub, J. M. Ortega: ''Wissenschaftliches Rechnen und Differentialgleichungen. Eine Einführung in die Numerische Mathematik''. Heldermann Verlag, Lemgo 1995, ISBN 3-88538-106-0.
* G. Oberholz: ''Differentialgleichungen für technische Berufe – vierte Auflage''. Verlag Anita Oberholz, Gelsenkirchen 1995, ISBN 3-9801902-4-2.
* P.J. Olver ''Equivalence, Invariants and Symmetry'' Cambridge Press 1995.
* L. Papula: ''Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2''. Viewegs Fachbücher der Technik, Wiesbaden 2001, ISBN 3-528-94237-1.
* H. Stephani ''Differential Equations: Their Solution Using Symmetries.'' Edited by M. MacCallum, Cambridge University Press 1989.
* Benker, H.: "Differentialgleichungen mit MATHCAD und MATLAB", Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New York 2005.
== Weblingg ==
* [http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=525 Matheplanet: Differentialgleichungen – Anleitungen zum Lösen diverser Differentialgleichungen mit Beispielen]
* [http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs16/ Mathematik-Online Kurs zum Thema ''Differentialgleichung'' der Uni Stuttgart]
* [https://web.archive.org/web/20130923084907/http://haftendorn.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt/analysis/dgl/dgl.htm Prof. Dr. Dörte Haftendorn (Uni Lüneburg) – Differentialgleichungen: Numerik, Beispiele, Isoklinen, …]
* [http://academicearth.org/courses/differential-equations Academic Earth] – MIT – Differential Equations von Professor Arthur Mattuck

== Fuessnoote ==
<references />
{{Übersetzungshinweis|de|Differentialgleichung|dütsch}}

[[Kategorie:Mathematik]]