Pascalsches Dreieck

S Paskalsche Dreieck

S Pascalsche Dreieck: Jede Iidrag isch d Summe vo de beide Iidreg, wo drüberstöhn

S pascalsche Dreiegg isch e geometrischi Darstellig vo de Binomialkoeffiziente $\tbinom{n}{k}$. Si wärde im Dreiegg eso aagordnet, ass jede Iidrag d Summe vo de beide Iidreg wo drüberstöhn, isch. Das wird dur d Gliichig

$\binom{n+1}{k+1} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1}$

beschriibe. Drbii chönne die Variable $n$ als Ziileindex und $k$ as Spaltenindex interpretiert wärde, wobii mä bi Null foot afo zelle (also die ersti Ziile isch $n=0$, die ersti Spalte $k=0$).

Wia benutzt ma des?

Nemma ma $(a \pm b)^2$

1. ma sucht sich die dritte Zeil beim paskalscha Dreieck raus.
2. der erste Koeffizient ischt da 1, also muss ma $1 \cdot x^2 \cdot y^0 = x^2$ ausrechna
3. der zweite Koeffizient isch 2, also $\pm 2 \cdot x^1 \cdot y^1 = \pm 2 \cdot x \cdot y$
4. der dritte Koeffizient isch wieder 1, also $1 \cdot x^0 \cdot y^2 = y^2$

das gibt:

$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2\cdot a\cdot b + b^2.$

Dieses Vorgehen funktioniert bei allen Gleichunga mit Hochzahla. In der vierta Zeil findet ma die Koeffizienta für $(a \pm b)^3$:

$(a \pm b)^3 = a^3\pm 3\cdot a^2\cdot b^1 + 3\cdot a^1 \cdot b^2 \pm b^3.$

Mä cha eso witermache, sött aber ufbasse, ass mä für s Binom $(a - b)$ immer s Minuszäiche us „$\pm$“ muess nee und dass, wäärend dr Exponänt vo $a$ in jedere Formle immer um 1 chliiner wird, dr Exponänt vo $b$ um 1 gröösser wird.

Wenn mä s Pascalsche Dreiegg uf s Binom (a - b) mit irgend eme Exponänt aawändet, wäggsle sich d Vorzäiche – und + regelmäässig ab (es stoot immer denn e Minus, wenn dr Exponänt vo b ungrad isch). Das häisst z. B.

$(a - b)^4 = a^4 - 4\cdot a^3\cdot b^1 + 6\cdot a^2 \cdot b^2 - 4\cdot a^1 \cdot b^3 + b^4.$

Litratuur

• John H. Conway und Richard K. Guy: The Book of Numbers. ISBN 0-387-97993-X

Weblingg

 Allmänd (Commons): Pascal's triangle – Sammlig vo witere Multimediadateie

• Muster im Pascalschen Dreieck (änglisch)
• Das Pascalsche Dreieck