Lemma von Nakayama

Des Lemma vom Nakayama isch äbbäs Lemma, wo in der kommutative Algebra benutzt wird. S hätt Lütt wo s Lemma au Krull–Azumaya-Satz nänne duet. Es säit us:

Wenn M en ändlig erzügte nittriviale R-Modul isch und $\mathfrak{a}$ en Ideal, wo im Jacobson-Radikal vo R lit, denn isch $\mathfrak{a}M\neq M$.

Bewiis

Es sig $\{u_1, \ldots, u_n\}$ e minimals Erzüügendesystem vo M. Mr näme $\mathfrak{a}M=M$ aa.

Wäge $u_n\in\mathfrak{a}M$ gäb s denn e Gliichig vo dr Form $u_n = \sum_{i=1}^n a_i u_i$ mit $a_i\in\mathfrak{a}$, also $(1-a_n)u_n = \sum_{i=1}^{n-1} a_i u_i$.

Wil $a_n$ im Jacobson-Radikal lit, isch dr Faktor $1-a_n$ en Eiheit, s Erzüügendesystem also nit minimal.

Folgerige

• Isch M en ändlig erzügte R-Modul, N en Undermodul und $\mathfrak{a}\subset J(R)$ en Ideal, so gältet

$M=\mathfrak{a}M+N\ \Rightarrow\ M = N$.