Kosinussatz

De Kosinussatz stellt i de Trigonometrie e Beziehig zwüsched de Siite vomene Drüeck und em Kosinus vo eim vo de Winkel her. Für di drü Siite a, b und c vomene Drüeck sowie em Winkel gegenüber vo de unbekannte Siite gilted:

$a^2=b^2+c^2-2\,b\,c\,\cos\alpha$

$b^2=a^2+c^2-2\,a\,c\,\cos\beta$

$c^2=a^2+b^2-2\,a\,b\,\cos\gamma$

Folgerige

Us em Kosinussatz chammer unter anderem au de Satz vom Pythagoras forme, wenn de Winkel $\gamma = 90^\circ$ isch, s Drüeck also rechtwinklig isch. De Kosinus vo 90° isch jo denn Null, und do drus chamer folgere: $c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot 0 \rightarrow c^2=a^2+b^2$

Bispiil

Di folgende Zahle sind grobi Nöherige. Geh seg es Drüeck ABC, wo alli drü Siite vorgeh sind.

$a = 5\;\rm cm$

$b = 4\;\rm cm$

$c = 4{,} 5\;\rm cm$

Gsuecht isch de Winkel $\beta$ (Normali Bezeichnige).

$b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos \beta$

$2 \cdot a \cdot c \cdot \cos \beta = a^2 + c^2 - b^2$

$\cos \beta \, = \, \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2 \cdot a \cdot c} = \frac{(5\,{\rm cm})^2 + (4\,{\rm cm})^2 - (4.5\,{\rm cm})^2} {2 \cdot 5\,{\rm cm} \cdot 4.5\,{\rm cm}} = 0{,}46$

$\beta = \arccos \,0{,} 46 = \underline{62{,} 5^\circ}$